Sistemas Numéricos

1. SISTEMAS NUMERICOS

 

1.1. INTRODUCCIÓN

 

A través de los tiempos, el hombre se ha visto en la necesidad de representar la información, ya sea para comunicarla a sus semejantes, preservarla o procesarla. Para ello, ha creado símbolos y reglas, que sirvan para su representación. Así, por ejemplo, la información a transmitir este texto, se representará básicamente usando el alfabeto  romano, las reglas establecidas para el idioma español, gráficos, el sistema decimal arábigo y otros sistemas numéricos, que estudiaremos en esta Unidad.

            Es de hacer notar que el concepto de información, aunque es un tanto abstracto en si, no debe confundirse con lo que es propiamente su representación. Por ejemplo, la información representada por el número 4 de también ser transmitida usando la palabra “cuatro” en español, “four” en ingles, “quatre” en francés, “IV” en números romanos, y en muchas otras formas, según sea la convención seleccionada. De la misma manera, la oración “ Ayer llovió en Santiago” sirve para transmitir una supuesta información, que bien puede representarse de muchas otras maneras, tales como el código Braille, código Morse, o señales de humo.

Claro está, que algunas formas de representación de la información serán más convenientes que otras, en determinadas circunstancias.

En cuanto a la forma de representar información numérica específicamente, se han desarrollado a través de las épocas y las regiones diversos sistemas de numeración, de los cuales el sistema decimal arábigo ha sido el más extendido, por la simplicidad de sus reglas y la facilidad de realizar operaciones aritméticas con él.

            Básicamente, un sistema numérico está conformado por un conjunto finito de símbolos, llamados valores dígitos, que se combinan mediante ciertas reglas, para representar información numérica.

            Existe una variada gama de sistemas numéricos, con características disímiles. Por ejemplo, el número y tipo de símbolos es variable; así, en sistema de números romanos, los símbolos usados son 1, y, X, L, C, M; en cambio, en el sistema arábigo son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y en los llamados sistemas binarios usualmente se utilizan los símbolos 0 y 1. El sistema decimal ha demostrado ser muy apropiado en la realización de cálculos por el hombre, pero no es el más apropiado para representar valores a ser manipulados directamente por los computadores digitales. Esto es debido a

que los mismos hoy día están construidos con dispositivos en los que la información se procesa, almacena y transmite en base a la combinación de dos estados básicos que podríamos representar como “0” y “1”. Así, existen componentes que actúan como interruptores electrónicos, que “abren” o cierran un circuito, que permiten la existencia de un “nivel bajo” o de “nivel alto” de tensión, que se magnetizan en un sentido o en otro, etc.,; decir que permiten la diferenciación de dos estados, lo cual permite la representación de la unidad básica de información binaria, o “bit” de información. Un bit es la mínima cantidad de información que puede transmitirse, y permite la diferenciación entre dos condiciones o estados; a partir de esta unidad básica, es posible transmitir, virtualmente, cualquier tipo de información, una vez que establezcamos una convención sobre el significado que ha de asignársele a cada combinación ordenada de varios “bits”.

 

1.2 SISTEMAS NUMERICOS DE BASE b

 

            Si observamos el sistema decimal que usamos a diario, podemos notar que tiene una organización muy interesante. Veamos Un ejemplo:

            El número 5429 significa 5 x 1.000 + 4 x 100 + 2 x 10 + 9 x 1, o sea,  5429 significa que 5 x 103 + 4 x 102 + 2 x 101 + 9 x 100

            Si llamamos i la posición que ocupa un símbolo, contando de derecha a izquierda, y xi   al símbolo que ocupa la posición i podemos expresar lo anterior como una sumatoria:

5429 = 5 x 103 + 4 x 102 + 2 x 101 + 9 x 100

 xi * 10i , donde,  x4 = 5, x3 = 4, x2 =. 2, x1 = 9

y, en general, si n es el número total de dígitos de la representación decimal, el número xn xn-1…x3 x2  x1, equivale a  xi * 10i

Así, cada dígito se multiplica por diez a la potencia (i – 1) y se sumar los resultados parciales. Se dice que loes la- base del sistema y el sistema es también conocido como de base 10 o decimal.

            En forma similar, existe un sistema numérico, binario, que consta de sólo dos dígitos, “0” y “1” cuya regla de formaciones semejante a la anterior.

            En este caso el número xn xn-1…x3 x2  x1 equivale a

            xn * 2 n-1 +   xn-1 * 2 n-2 +… +  x2 * 21 +         x1 * 2°. Es decir a  xi * 2i-1

Por ejemplo, el número 1101 en base 2 equivale a 1 * 23 + l * 22 + 0 *21 + 1 x 20 es decir a 13 en decimal.

Lo anterior puede expresarse de la siguiente forma 11012 = 1310 (Los subíndices representan la base del sistema usado).

Veamos otro ejemplo:

10110112 = 126 + 0´25 + 1´24 + 1´x23 + 0´22+1´21+1´20

                 =    6410  +    010   +   1610   +      810   +    010  +   210  + 110         =          9110

            Asimismo, tenemos el sistema llamado de base 8 (octal), en el que existen dígitos como símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 6, 7.

            Aquí el número xn xn-1…x3 x2  x1, equivaldrá a:

xn ´ 8n-1+ xn-1 ´8n-2 +…. +x2 ´ 81+ x1 ´ x80         xi * 8i-1

Por ejemplo, el número 352 en base 8 significa:

3528= 3 ´ 82  +  5 ´ 81 + 2´80 = 23410

También contamos con el sistema de base 16 (hexadecimal), en el que existen 16 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F que equivalen en el sistema decimal a los números del 0 al 15 respectivamente.

En el sistema hexadecimal o de base 16, el número xn xn-1…x3 x2  x1 equivaldrá a 16~’ + xn ´ 16n-1+ xn-1 ´16n-2 +…. +x2 ´ 161+ x1 ´ x160  =    xi ´ 16i-1

Ejemplo:         El número 3216 equivale a 3 ´ 161 + 2 ´160 = 5010

El número AOF16 equivale a 10 ´ 162 + 0 ´ 161 + 15 ´ 160 = 257510

 

1.3. CONVERSIONES

 

Veamos cómo convertir un número decimal a binario, octal, o hexadecimal.

Si queremos transformar un número decimal en binario (base 2), debemos dividir consecutivamente por 2, e ir separando cada uno de los residuos de divisiones.  Entonces se toman los residuos desde el último hacia el primero y se juntan, escribiéndolos de izquierda a derecha. El siguiente ilustra el procedimiento.

Convertir el número 26 decimal a base 2

 

26 : 2 = 13  : 2 = 6 : 2 =3 : 2  =1

                                         0           1           0        1            

Unamos entonces los residuos, colocando el último en el extremo izquierdo, asi sucesivamente, hasta colocar el primero en el extremo derecho y tendremos que la representación de 26 decimal en base 2 es 2610 = 110102

Veamos otro ejemplo, en el que indicamos de otra forma el procedimiento hacer la conversión. La conversión de un número en base 2 a base 8, o a base 16 se puede hacer de una manera muy simple: para transformar un número de binario a octal se agrupan los dígitos binarios de derecha a izquierda en conjuntos de tres dígitos, se transforma en su dígito octal equivalente, sabiendo que para cada dígito octal existe la siguiente equivalencia en binario.

Veamos un ejemplo: supóngase que el número binario 011111010 desea convertirse en base 8, aplicando el procedimiento antes indicando tenemos:

 

011      111      010

 

                                                    3          7          2

Entonces:        0111110102 = 3728

 

Otro ejemplo: para convertir 1100110101 binario a octal, agrupamos los dígitos en grupos de tres de derecha a izquierda en la forma indicada:

1          100      110      101

        

           1         4           6          5

Entonces:        11001101012 = 14658

Observarse cómo el dígito octal más significativo debe ser el equivalente a 1 binario, lo cual es equivalente a decir que debe ser equivalente al 001 binario.

Para convertir un número binario a hexadecimal se agrupan los dígitos de derecha a izquierda, en conjunto de cuatro dígitos, Luego, cada conjunto de cuatro dígitos se transforma en. su dígito hexadecimal equivalente, según lo indicado a continuación.

00002   = 016    ; 00012 = 116    ; 0010=216       ; 00112=316;       01002   = 416    ; 01012 = 516; 01102    = 616    ; 01112 = 716                ; 10003 = 816    ; 11012 = 916;   10102  = A16   ; 110112 = B16

            11002   = C16   ; 11012 = D16 ; 11102   = E16    11112 = F16

Ejemplos

 

a.         Conversión del número 101011100000 binario a hexadecijual:

 

                                           1010                1110                0000

 

                                   A                     E                    O

Luego, 1010111000002 = AE016

 

b.         Conversión de 1111010111 binario a hexadecimal:

   11                 1101                0111

 

          3                       D                     7

Luego, 11110101112 = 3D716

 

Para convertir de base 8 o baso 16 a base 2 se hace el proceso inverso anterior, es decir que cada dígito octal o hexadecimal se descompone en conjunto de tres o de cuatro dígitos binarios, para dar en total el número correspondiente.

a.         conversión de 7368 a binario

7                      3                      6

 

111                  011                  110

Luego, 7368 = 1110111102

 

b.         Conversión de 4F5C16 a binario

4                      F                    5                      C

 

        0100                1111                0101               1100

Luego,  4F5C16 = 01001111010111002

 

1.4.      REPRESENTAC ION DE NÚMEROS NEGATIVOS EN BINARIO

 

Se expusieron las razones que respaldan la decisión de usar el sistema binario, para la representación interna de cantidades en los computadores. Aunque toda la información se represente usando solamente los dígitos 1 y 0, no existe una manera única de representar dicha información.

Siempre se busca una representación que optimice la operación del equipo, tanto en el uso de los recursos, como en la velocidad de operación, sin olvidar, lógicamente, ofrecer el máximo de comodidades para la programación la máquina.

Uno de los puntos que Me atención ha recibido ha sido la representación de las cantidades negativas, pues entre las múltiples representaciones existentes, algunas de ellas permiten simplificar notablemente la operación interna del equipo.

 

1.5. ADICIÓN Y SUSTRACCION DE CANTIDADES BINARIAS

 

Como el sistema binario sólo maneja los dígitos 0 y 1, la adición en el sistema binario se rige por reglas muy sencillas:

                                                                      

0 + 0 = 0

                        0 + 1 = 1

                        1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 y acarreo 1

Ejemplo:  Sea la suma de las siguientes cantidades binarias 100101 y 011011:

                                       1    1        ß acarreo

                      1 0 0 1 0 1

            + 1 0 0 1 0 1

                    1 0 0 1 0 1 0

Ejemplo:  Sea la suma de las siguientes cantidades binarias: 101100 y 10011

                             1 1 1                ß Acarreo

      1 0 1 1 0 0

+    1 0 0 1 1 0

    1 0 1 0 0 1 0

La sustracción también se simplifica mucho en el sistema binario. Las reglas son las siguientes:

                                                           0 – 0 = 0

                                                           1 – 0 = 1

                                                           1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 y presto 1 (borrow).

Ejemp1o:  Considérese la sustracción de las siguientes cantidades binarias 110101 y 011010.   

                                                      1 1    1      ß        presto

 1 1 0 1 0 1

-  0 1 1 0 1 0

    0 1 1 0 1 1

 

En realidad, la sustracción de números binarios por el computador no se lleva a cabo de la forma como se ha explicado. Para agilizar la operación aritmética de la máquina, se busca el negativo del sustraendo, y el resultado se suma al minuendo, con lo que la resta se convierte en una suma.

 

1.6 REPRESENTACION MEDIANTE SIGNO Y MAGNITUD

 

Ordinariamente, las cantidades negativas que se manejan en aritmética se  reconocen por el símbolo “ – “ que se ántepone a la magnitud del número. Por ejemplo, en la cantidad   - 123  representada en signo y magnitud, el – representa el signo y 123 representa la magnitud. De la misma manera se puede representar la cantidad binaria equivalente, – 1111011 en donde la magnitud, 1111011, equivale a 123 en decimal.

 

Como la máquina sólo maneja l y 0 y no signos + y -, es necesario encontrar una equivalencia para estos signos. en términos de 1 y 0. Afortunadamente, la tarea es muy fácil se asigna el dígito 0 el signo +, mientras que el signo – queda representado por el dígito 1. Para completar la equiva1encia, se escoge la posición extrema izquierda de cada cadena de dígitos binarios para colocar el dígito del signo. Esta forma de representaciones similar a la utilizada comúnmente en la aritmética decimal.

 

Ejemplo: Sea la cantidad decimal -1027. Su representación en binario, usando la convención de signo y magnitud estudiadas, se logra en dos etapas: primero se obtiene la magnitud en binario y, en segundo lugar, se le coloca el digito que representa el signo. Así, 1027 se representa en binario como 10000000011 el signo – en binario se representa como un 1 en la posición extrema izquierda. Por lo tanto, la representación final equivalente es 110000000011

 

Ejemplo: Considérese el número binario 1111001 que está expresado usando el convenio signo y magnitud. El número decimal que representa se encuentra separando el signo de la magnitud, convirtiendo, a continuación, cada uno de ellos a su equivalente decimal para encontrar la respuesta final. Efectuando esto, se obtiene que el primer digito de la izquierda es un 1; representa el signo. Está indicando que se trata de una cantidad negativa; el resto de la cantidad binaria, 111001, es la magnitud. Efectuando la conversión, resulta igual 57, es decir,  - 57.

Aunque la representación en signo y magnitud es muy cómoda, por su parecido con la que se utiliza ordinariamente en la aritmética decimal, adolece de muchas deficiencias las cuales se manifiestan principalmente en el desarrollo de las operaciones aritméticas En efecto, considérese la secuencia de pasos que hay que efectuar para la suma de dos cantidades, una positiva y otra negativa. Primero, hay que determinar cual es la mayor; a continuación, efectuar la resta y, finalmente, agregar el signo de la mayor al resultado.

 

Ejemplo:  Sean las cantidades binarias, en formato de signo y magnitud, 01001 y 10100.

La adición de estas das cantidades siguiendo e1 proceso explicado, implicaría:

a)      Comparar las magnitudes 1001 es mayor que 0100

b)      Restarlas ordenadamente 1001 – 0100 = 0101

c)      Agregar el signo de la mayor al resultado:  00101

Como se ha podido observar, el uso del formato “signo y magnitud” complica excesivamente el proceso de la suma Si se tiene en cuenta que la mayor parte de las operaciones aritméticas se realizan en base a sumas sucesivas, el uso este tipo de representación reducirla notablemente la velocidad de procesamiento del computador.

 

1.7 COMPLEMENTACION

 

Se define el complemento, C(N), de un número, n, de p dígitos, expresado n el sistema de base B, mediante la siguiente relación:

C(N)=BP-N

Se entiende por base, B de un sistema numérico, el número de dígitos o símbolos que se usan en el mismo para la representación de cualquier cantidad.

Por ejemplo, en el sistema binario se usan dos símbolos, el 1 y el 0,  siendo su base, 2. Por otra parte, el sistema octal emplea 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7); su base es 8.

Ejemplo: Sea el número N = 641 en el sistema decimal. Su complemento, C (641) se obtiene aplicando la formula anterior. Para ello se determinan previamente. Los valores de las variables que intervienen en la misma.

p = número de cifras = 3

B = base del sistema = 10

N = número a complementar 641

La aplicación de la fórmula dará C(641) = 103 – 641 = 1000 – 641 = 359

 

1.8. COMPLEMENTO A 2

 

            En el computador las cantidades positivas se almacenan y representan utilizando el formato de signo y magnitud. El dígito más significativo, el de la extrema izquierda representa el signo, siendo igual a 0.

            En cambio, las cantidades negativas se almacenan en forma complementada; como la base en que se trabaja en el computador es la base binaria, el complemento en que se almacenan las cantidades negativas es el complemento a 2. El dígito más significativo, el  de la extrema izquierda, es igual a 1.

            Por lo tanto, cualquier número binario cuyo dígito más significativo sea 1, representa una cantidad negativa en complemento a 2. Si el dígito más significativo es 0, se trata de una cantidad positiva representada en el formato de signo y magnitud.

            El complemento a 2 de un número N binario de n dígitos se calcula de modo similar al caso de la base 10

C2(N) = 2n N

Ejemplo: Sea n = 8 y N = 01011001 (equivalente al decimal 89). El complemento a 2  de N se calcula así:

 

C2(N)= 28 – 01011001 = 100000000 – 01011001 = 10100111

 

Hay que aclarar, en esta fórmula, que la cantidad 2 elevado a la 8 equivale en el sistema binario, a la cantidad 100000000.

Como el digito más significativo es 1, se trata de una cantidad negativa representada en complemento a 2. El equivalente decimal de dicha cantidad se obtiene complementando el resultado obtenido,

C2(N)= 28 – 10100111  = 100000000 – 10100111 = 01011001

Que equivale a 89. Por lo tanto, el resultado de complementar el número dado es igual, en base 10, a 89, como era de esperar.

La forma más cómoda de encontrar el complemento a 2 de un número binario, consiste en obtener primero el complemento a 1 de dicha cantidad. El complemento a 1 ( C1 ) de una cantidad N se calcula de la siguiente manera:

 

C1(N) = C2(N) – 1 =  2p – N – 1

 

Ejemplo:  Sea el número binario N = 01101101, de 8 cifras binarias. El complemento C1 será  igual a:

 

            C1(N)  = 28 – 01101101 – 1 = 11111111 — 01101101 = 10010010

 

Ejemplo: Sea el número N=10010001. Su complemento a 1 C1 se encuentra cambiando los 1 por 0, y los 0 por 1. De esta manera, el complemento buscado será  igual 01101110.  Esto se comprueba aplicando la fórmula:

 

C1 ( N )=28 – 1 – 10010001 = 11111111 – 0010001 = 01101110

 

1.9. REPRESENTAC ION DE NUMEROS NO ENTEROS NEGATIVOS

 

Si todos los números manejados dentro del computador fuesen enteros, sería suficiente con escoger un número adecuado de dígitos binarios para expresar cualquier cantidad, en uno de los formatos estudiados. Sin embargo, muchos cálculos científicos exigen la representación de cantidades tan grandes o tan pequeñas, que su representación como números enteros no resulta práctica.

En algunos cálculos científicos se manejan cantidades tan grandes como 6.06 ´ 1023 o tan pequeñas como 1.6 ´ 10 -19 .Si se tratase de diseñar un formato de números enteros, que abarcasen ambas cantidades, se necesitarían 41 dígitos decimales.

En el mundo científico las cantidades grandes o pequeñas se acostumbran a presentar en dos partes: una que indica las cifras exactas con que se da a cantidad (la mantisa), y la otra que indica una potencia de 10 (la característica o exponente), que multiplica la mantisa.

En el caso del número 6.06 ´1023, la mantisa es 6.06; mientras que 23 representa el exponente. También se puede representar el mismo número 0.606 ´ 1024     Se ha convenido en normalizar la representación de la mantisa, de modo que ésta sea una cantidad menor que 1 y mayor que 0.1, ajustando el exponente para lograr el resultado correcto.

Ejemplo:        Los siguientes números normalizados quedan así:

2.68 ´ 1013  = 0.268 ´            1014

                                   0.0194 ´ 10 -6  = 0.194 ´ 10 -7

                                   143.68 ´ 105 = 0,14368 ´ 108

Una vez que se ha aceptado la normalización, se puede apreciar que sólo es necesario conservar cuatro conceptos para poder representar el número: las cifras a la derecha del punto decimal, el valor del exponente, el signo del mismo y el signo del número.

Ejemplo: El número decimal -12.1. Se desea encontrar su representación usando el formato explicado arriba.   Para ello se siguen los pasos:

            Normalizar el número: -12.1 = – 0.121 ´ 102

            Identificar las cuatro partes del número:

Signo_Mantisa                       :  -        à  1

             Magnitud_Mantisa                : 121    à  1111001

             Signo_Exponente                  :  +       à 0

             Magnitud_Exponente           : -         à 10  

            Signo_Mantisa+Signo_Exponente+Magnitud_Exponente+Magnitud_ Mantisa

Se forma finalmente el número: 1 0 10 1111001

Ejercicios Sistemas de Numeración

 

1.      Convierta 14610, 751510  y  4155210 a base binaria

2.      Convierta 45110, 41521710 y 6563210 a base Octal

3.      Convierta 485310,  56541210  y 65896610a base hexadecimal

4.      Convierta a su homólogo en base decimal

a)      1011101112

b)      101110100112

c)      254258

d)     414141418

e)      B4A16

f)       C5F17C16

 

5.  Convierta los siguientes números a la base especificada con agrupación de dígitos

 

a)      1010101011102  a Base Octal

b)      11100111012 a Base Hexadecimal

c)      101010111012  a Base Octal

d)     11101111011102  a Base Hexadecimal

 

6. Realice las siguientes sumas binarias

 

a)      10111010 + 11101

b)      101101111 + 101010111

c)      111011101 + 10010111101

 

7. Realice las siguientes restas binarias con Complemento2

 

a)      10101010 – 10101

b)      101101111 – 10101

c)      1010100111 – 101011111

 

8.  Represente mediante signo y magnitud  los números:

 

a)      22310 y -22310

b)      102310 y -102310

c)      1014110 y -1014110

 

9.  Expresar el número decimal a su homólogo en binario

 

a)      1,6510

b)      -13,7410

c)      0,04110

d)     -0,00042810

Publicada on septiembre 17, 2008 at 3:56 pm  Comments (1)  

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  1. Hola compañero revisando sistemas numericos


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